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1、考研数一历年真题答案 【篇一: 15 年考研数学一真题与解析】t1、选择题 18 小题每小题 4 分,共 32 分设函数 f(x) 在(?,?) 上连续,其二阶导数 f?(x) 的图形如右图所示,则曲线 y?f(x) 在(?,?) 的拐点个数为(a)0(b)1 (c)2 (d)3【详解】对于连续函数的曲线而言,拐点处的二阶导数等于零或者不存在从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点 x?0 但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的,所以对应的点不是拐点而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点,所以应该选( c)2设 y?12x1e。

2、?(x?)ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y?ay?by?cex 的一个特解,则 23(a)a?3,b?2,c?1 (b)a?3,b?2,c?1 (c)a?3,b?2,c?1(d)a?3,b?2,c?1【详解】线性微分方程的特征方程为 r?ar?b?0 ,由特解可知 r1?2一定是特征方程的一个实根如果 r2?1 不是特征方程的实根,则对应于 f(x)?ce 的特解的形式应该为 q(x)e ,其中 q(x) 应该是一个零次多项式,即常数,与条件不符,所以 r2?1 也是特征方程的另外一个实根,这样由韦达定理可得x x 2a?(2?1)?3,b?2?1?2 ,同时 y*?xex 是原来方程。

3、的一个解,代入可得 c?1 应该选( a)若级数 ?an?1 ? n条件收敛,则 x?x?3 依次为级数 ?na(x?1)nn?1? n的()收敛点,收敛点 ()收敛点,发散点 ()发散点,收敛点 ()发散点,发散点 【详解】注意条件级数?a n?1 ? n条件收敛等价于幂级数?a n?1 ? nxn 在 x?1 处条件收敛,也就是这个幂级数的 ? an?1nan?1 ,所以 ?nan(x?1)n 的收敛半径 r?lim?1 ,绝对收敛域为收敛为 1, 即 limn?an?(n?1)an?1nn?1 (0,2),显然 x?x?3 依次为收敛点、发散点,应该选( b)设 d 是第一象限中由曲线 。

4、2xy?1,4xy?1 与直线 y?x,y? 所围成的平面区域,函数 f(x,y) 在d 上连续,则?f(x,y)dxdy? () d ? () ?d?341sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)rdr () ?3d?4f(rcos?,rsin?)rdr?()?d?34f(rcos?,rsin?)dr() ?3d?4 f(rcos?,rsin?)dr 【详解】积分区域如图所示,化成极坐标方程: 2xy?1?2r2sin?cos?1?r2?1 ?r? sin2?1?r? 2sin2?4xy?1?4r2sin?cos?1?r2?3?4也就是 d:? ?r? 。

5、所以?f(x,y)dxdy?d?3 df(rcos?,rsin?)rdr ,所以应该选( b) 4 ?111?1?5 设矩阵 a?12a,b?d ,若集合 ?1,2? ,则线性方程组 ax?b 有无穷多解的充分必要 ?2?14a?d2?条件是(a)a?,d? (b)a?,d? (c)a?,d? (d)a?,d? 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换:?111?b?(a,b)?12a ?14a2?1?1111?1111?d?01a?1d?1?01a?1d?1?2?22?d?03a?1d?1?00(a?1)(a?2)(d?1)(d?2)?方程组无穷解的充分必要条件是 r(a)?r(a,b)。

6、?3 ,也就是(a?1)(a?2)?0,(d?1)(d?2)?0 同时成立,当然应该选( d)2226设二次型 f(x1,x2,x3) 在正交变换 x?py 下的标准形为 2y1 ,其中p?e1,e2,e3 ,若?y2?y3?q?e1,?e3,e2? ,则 f(x1,x2,x3) 在 x?qy 下的标准形为 222222(a)2y1 (b)2y1 ?y2?y3?y2?y3222222(c)2y1 (d) 2y1 ?y2?y3?y2?y3 ?100?100?100? 【详解】 q?e1,?e3,e2?e1,e2,e3?001?p001 , qt?00?1pt ?0?10?0?10?010?2f?。

7、xtax?ytpapy?yt?1?t ?y ?1?100?100?100?2 所以 qtaq?00?1?ptap?001?00?1?1?100?001?2?010?0?10?010?1?0?10? 故选择(a)7若 a,b 为任意两个随机事件,则( )(a)p(ab)?p(a)p(b) (b)p(ab)?p(a)p(b) (c)p(ab)?p(a)?p(b)2 (d)p(ab)?p(a)?p(b) 2【详解】 p(a)?p(ab),p(b)?p(ab), 所以 p(ab)? p(a)?p(b)2故选择( c)8设随机变量 x,y 不相关,且 ex?2,ey?1,dx?3 ,则 e(x(x?y?。

8、2)?()(a)?3(b)3 (c) ?5 (d)5【详解】 e(x(x?y?2)?e(x2)?e(xy)?2ex?dx?(ex)2?exey?2ex?5故应该选择( d)2、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分 把答案填在 题中横线上) 9limln(cosx)x?0x2? 【详解】 limln(cosx)x?0x2?lim?tanxx?02x?1 2 ? 10 ?2 ?sinx? ?cosx?x?dx? 2?1 【详解】只要注意 sinx1?cosx为奇函数,在对称区间上积分为零,? ?1? 1? ?2?sinx?2所以?x?dx?2?xdx? 0?1?cosx4?。

9、2?2 ?11若函数 z?z(x,y) 是由方程 ez?xyz?x?cosx?2 确定,则dz|(0,1)? 【详解】设 f(x,y,z)?ez?xyz?x?cosx?2 ,则fx?(x,y,z)?yz?1?sinx,fy?(x,y,z)?xz,fz?(x,y,z)?ez?xyfy?(0,1,0)fx?(0,1,0)?z?z且当 x?0,y?1 时,z?0 ,所以|(0,1)?1,|(0,1)?0, ?x?yfz?(0,1,0)fz?(0,1,0) 也就得到 dz|(0,1)?dx12设?是由平面 x?y?z?1 和三个坐标面围成的空间区域,则?(x?2y?3z)dxdydz? ?【详解】注。

10、意在积分区域内,三个变量 x,y,z 具有轮换对称性,也就是?xdxdydz?ydxdydz?zdxdydz?2(x?2y?3z)dxdydz?6zdxdydz?6zdzdxdy?3z(1?z)dz? ?dz 111 4 2?113n 阶行列式 00002 22 ? 2 00 ?12【详解】按照第一行展开,得dn?2dn?1?(?1)n?12(?1)n?1?2dn?1?2 ,有 dn?2?2(dn?1?2) 由于 d1?2,d2?6 ,得 dn?2n?1(d1?2)?2?2n?1?2 14设二维随机变量 (x,y) 服从正态分布 n(1,0;1,1;0) ,则p?xy?y?0? 【详解】由。

11、于相关系数等于零,所以 x,y 都服从正态分布,xn(1,1),yn(0,1) ,且相互独立 则 x?1n(0,1) p?xy?y?0?p?y(x?1)?0?p?y?0,x?1?0?p?y?0,x?1?0?3、解答题11111? 22222 315(本题满分 10 分)设函数 f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx ,g(x)?kx在 x?0 时为等价无穷小, 求常数 a,b,k 的取值【详解】当 x?0 时,把函数 f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx 展开到三阶的马克劳林公式,得x2x31 f(x)?x?a(x?o(x3)?bx(x?x3?o(x3)236 aa?(1?a)x。

12、?(?b)x2?()x3?o(x3)23?1?a?0?a由于当 x?0 时,f(x),g(x) 是等价无穷小,则有 ?b?0 , ?2?a?k?3 解得, a?1,b?11,k? 2316(本题满分 10 分)设函数 y?f(x) 在定义域 i 上的导数大于零,若对任意的 x0?i ,曲线y?f(x) 在点(x0,f(x0) 处的切线与直线 x?x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4,且 f(0)?2 ,求 f(x) 的表达式 【详解】 y?f(x) 在点(x0,f(x0)处的切线方程为 y?f?(x0)(x?x0)?f(x0) 令 y?0 ,得 x?x0?f(x0)f?(x0)曲线 y?。

13、f(x) 在点(x0,f(x0) 处的切线与直线 x?x0 及 x 轴所围成区域的面积为s? f(x0)1f(x0)(x0?(x0?)?4 2f?(x0)整理,得 y? 12111y,解方程,得 ?c?x ,由于 f(0)?2 ,得 c? 82y8 8 4?x所求曲线方程为 y?17(本题满分 10 分) 22设函数 f(x,y)?x?y?xy ,曲线 cx?y?xy?3 ,求 f(x,y) 在曲线 c 上的最大方向导数【篇二: 15 年考研数学 (一)真题及答案详解】p 1、选择题 18 小题,每小题 4 分,共 32 分下列每题给出的四个选项中 ,只有一个选项符合题目要求的 ,。

14、请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)设函数 f(x) 在?,? 内连续,其中二阶导数 f?(x) 的图形如图所示,则曲线y?f(x) 的拐点的个数为 ()(a) 0 (b) 1 (c) 2(d) 3 曲线 y?(2)(a)(b) (c) (d) 2所以 2,1 为特征方程 r?ar?b?0 的根,从而 a?(1?2)?3 ,b?1?2?2 ,从而原方程变为 y?3y?2y?ce ,再将特解 y?xe 代入得 c?1 故选( a)(3) 若级数 xx?a n?1 ?x?3 依次为幂级数 n 条件收敛,则 x? ?na(x?1)n n?1? n的 ()(a) 收敛点,收敛点(b)。

15、 收敛点,发散点 (c) 发散点,收敛点 (d) 发散点,发散点 【答案】(b)【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质 【解析】因为nx?2 条件收敛,即为幂级数的条件收敛点,所以 aa(x?1)?n?nn?1 n?1? ? ?a(xnn?1?n? ?na(n?1(a) (b)(c)(d)x(5) 设矩阵, b?d? ,若集合,则线性方程组有 ?14a2?d2?无穷多解的充分必要条件为 ()(a) a?,d? (b) a?,d? (c) a?,d? (d) a?,d? 【答案】 (d) ?111?【解析】 (a,b)?12a?14a2?1?1111?d?01a?1d?1?2。

16、?d?00(a?1)(a?2)(dd?2)?,由 r(a)?r(a,b)?3 ,故 a?1 或 a?2 ,同时 d?1 或 d?22 (6) 设二次型 f?x1,x2,x3? 在正交变换为 x?py 1 其中2?p?e1,e2,e3? ,若 q?e1,?e3,e2? ,则 f?x1,2x3?()222(a) 2y1 ?y2?y3222(b) 2y1 ?y2?y3222(c) 2y1 ?y2?y322(d) 2y1 ?y2?y3【答案】 (a) 222x?f?taxyt(ptap)y?2y1 ?y2?y3?t且 p? ?1? ?100? ?由已知可得 q?p?001?pc ?0?10?。

17、0?ttt故有 qaq?c(pa p)c?0?10?001? 222所以 f?xtax?yt(qtaq)y?2y1 选(a) ?y2?y3(7) 若 a,b 为任意两个随机事件,则 () (a) p?ab?p?a?p?b? (b)p?ab?p?a?p?b? (c) p?ab? 【答案】 (c)【解析】由于 ab?a,ab?b ,按概率的基本性质,我们有 p(ab)?p(a)且p?a?p?b?p?a?p?b?(d) p?ab?22p(ab)(8) ()(a)(9) ? 方法二: lim?lim?lim?limx?0x?0x?0x?0x2x2x2x22 (10)sinx(?21?cosx?x。

18、)dx?________2?【答案】 4 【分析】此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简 ?2sinx?【解析】 ?2?x?dx?2?2xdx? 0?4?2?1?cosx?(11) 若函数 z?z(x,y) 由方程 ex?xyz?x?cosx?2 确定,则 dz 【答案】?dx【分析】此题考查隐函数求导 【解析】令 f(x,y,z)?ez?xyz?x?cosx?2 ,则 (0,1) ?________fx?(12)?(x? ?1??4? (13)n【答案】 2n?1?2【解析】按第一行展开得【篇三: 14 考研数学一真题及答案】s=txt 数学一试题答案一。

19、、选择题: 18 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)b(2)d(3)d(4)b(5)b(6)a(7)(b)(8)(d)2、填空题: 9?14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上 (9)2x?y?z?1?0(10)f(?1)?1(11)lny?2x?1 x(12)?(13)2,2(14)2 5n3、解答题: 1523 小题,共 94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (15)【答案】 x?limx1t(e?1)?td。

、tx2ln(1?1 xx21x)xx1?lim(e?1)?t2dt?tdt1x ?limx2(e?1)?xx?x?1,x则 limx2(e?1)?x 令 u?x? eu?1?u?limu?0?u2eu?11?lim?u?0?2u2(16)【答案】3y2y?y2?x?2yy?2xy?x2y?0y2?2xy?0 y(y?2x)?0y?0( 舍)或 y?2x 。y?2x 时, y3?xy2?x2y?6?0?8x3?x?(4x2)?x2?(?2x)?6?0?8x3?4x3?2x3?6?0?6x?6?0 x3?1?x?1,y?26(y?)2y?3y2y?2yy?2y?y?x?2(y?)2?x?2yy?2。

21、y?2xy?2xy?x2y?012y?(1)?4y?(1)?4?y?(1)?09y?(1)?4y?(1)?9?04 3所以 y(1)?2 为极小值。(17)【答案】 ?e?f?(excosy)excosy ?x?2ex2x2xx?f(ecosy)ecosy?f(ecosy)ecosy2?x?e?f?(excosy)ex(?siny)?y?2e?f?(excosy)e2xsin2y?f?(excosy)ex(?cosy)2?y?2e?2e?2?f?(excosy)e2x?(4e?excosy)e2x2?x?yf?(excosy)?4f(excosy)?excosy令 ecosy?u ,则 f?(。

22、u)?4f(u)?u , 故 f(u)?c1e2u?c2e?2u?由 f(0)?0,f?(0)?0, 得 x u,(c1,c2 为任意常数 ) 4e2ue?2uuf(u)? 16164(18)【答案】 补??(x,y,z)z?1? 的下侧,使之与 ?围成闭合的区域?, 1?1?1 ? 2?11?3(x?1)2?3(y?1)2?1dxdydz ?d?d?3(?cos?1)2?3(?sin?1)2?1?dz00?2 12?1 ?d?d?3?2?6?2cos?6?2sin?7?dz00?2 1 ?2?(3?3?7?)(1?2)d?4?(19)【答案】(1)证an 单调 由 0?an?2,根据单调有界必有极限定理,得 liman 存在, n?设 liman?a ,由 n?bn?1?n 收敛,得 limbn?0 , n。

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